# El toroide Uno de los éxitos empíricos más notables de la mecánica cuántica es la predicción precisa de los niveles de energía del átomo de hidrógeno. Resulta ser que el átomo de hidrógeno tiene lo que se llama un "estado de energía base", un átomo de hidrógeno es su mínimo nivel de energía, llamémoslo $E_0$. Un ejemplo algo dispar es el del gasto energético basal de cualquier organismo. # Compartimientos por nivel En lugar de piso, llamémoslo "nivel", y en lugar de apartamento, compartimiento. En los compartimiemtos almacenaremos "energía". Como decíamos, en el primer nivel hay 4 compartimiemtos (una entrada delantera, y una entrada trasera). Usando la escalera, en el siguiente nivel, hay otros 9 compartimiemtos, más pequeños, pero también con puerta delantera y trasera. Siguiendo con la escalera, 16 ... Los niveles tienen un limite, hasta donde sepamos no hay infinitos niveles. Esta escalera se llama la "escalera de Rydberg", y se encuentra en muchos edificios distintos. # Dividiendo en compartimientos los niveles Podemos imaginar que cada nivel tiene una energia igual al nivel base dividida en tantos compartimientos como corresponda al nivel. Podemos imaginar entonce el nivel, como una superficie rectangular de lados $m$ y $n$, con $m×n$ compartimientos por nivel. Por ahora, fijemos $m=n$, lo que da $n×n = n²$ compartimientos por nivel. Podemos decir que cada compartimiento tiene una puera delantera y una trasera, lo que da dos maneras de almacenar la energía (en el compartimiento trasero, o el delantero; mejor analogía más adelante). El primer nivel, $E_1$, tiene 4 compartimientos, y dos maneras de almacenar (que se llaman "degeneraciones"). El segundo nivel, $E_2$, tiene 8 compartimientos, y así... Esto lo podemos escribir como, $$ E_i = E_0 /n^2 $$ Así, dejemos en la mente la idea de cantidad de cuartos por nivel, $m×n$. # El toroide "Topológicamente"[^Topología], cualquier superficie de área $a$ definida es análoga a un rectángulo con dicha area $a$. Dicho de otra manera, podemos hacer un mapa de cualquier superficie, identificando regiones de la superficie con regiones del mapa. [^Topología]: área de la matemática que estudia las formas. Podemos llamar a los lados de ese rectángulo $m$ y $n$. Si juntamos los lados opuestos del rectángulo (por ejemplo, doblando la superficie en su lado denotado $n$), haríamos un tubo de longitud $m$. Y si juntamos los lados opuestos del tubo, se haría una forma que se ve como el glaciadod de un, la superficie de una dona. ### ¿Dónde está el hueco si ves a la dona como superficie? De regreso a la superficie toroidal (la superficie del tubo con lados opuestos identificados), vista como rectángulo, podrímos imaginar a los *dos* huecos de la superficie de la dona (sí, la superficie de la dona tiene 2 huecos, el central, y el hueco del centro del tubo de lados juntados), corresponden al interior y el exterior de la capa toroidal, o a cada lado de la capa. Esto deja de ser evidente en donas con más huecos, o figuras de topología más compleja. Cada hueco, es una manera de almacenar energia. Realmente, al energia se almacena en la superficie, que tiene 2 huecos. ### Los huecos del toroide Los huecos del toroide, como tal, no existen, son huecos. Sin embargo, y *muy importante*, una superficie sin 2 huecos *no* es similar a un toroide. Más interesante aún es la idea de que los huecos -que no son nada, son huecos- puedan funcionar como contenedores (podemos almacenar cosas cada vez que cerremos la superficie identificando lados opuestos). No es difícil justificar que se requiera energía para doblar una superficie plana, o perforarla, para hacerla en forma de toroide. ## Del rectángulo al toroide Podemos imaginar que dibujamos una linea contínua alrededor del hueco de la dona. Esta linea tiene longitud $m$. En esa longigitud podemos dibujar cualquier figura que queramos, pero para que se vea continua dibujada en el toroide, "un lado tiene que coincidir con el otro". A esto se le llama la condición de continuidad, y ocurre igual con los dos huecos. La linea, de longitud $m$, podemos dividirla en tantos compartimientos como queramos. Igual on el lado de longitud $n$. Así, tenemos $m×n$ compartimientos enteros. ## Onda en la superficie del toroide Recuperemos la idea de la divisiones de un rectángulo de lados $m$ y $n$, donde $m$ y $n$ son números enteros. Con esto en mente, considérese una onda electromagnética estacionaria en la superficie de un toroide [^Toroide] en un universo de Maxwell sin fuentes. [^Toroide]: Un toroide es una forma como una doughnut: un volúmen cerrado con un hueco. Según las ecuaciones de Maxwell, la condición de "sin fuentes" -sin cargas-, la escribimos como: $$ divE=0 divB=0 $$ Que significa que dada cualquier nivel, el flujo de las líneas de campo gauss es cero (teorema de gauss), es decir el flujo neto de energia entre distintos niveles es cero. En otras palabras, no hay energia saliendo de la nada en ningun compartimiento llegando a los otros. --- Esto se cononoce como el teorems de Gauss: Sin embargo, esto no prohibe que haya flujo de energía entre compartimiendo del mismo nivel. Matemáticamente, podemos decir que si bien $\nabla \dotprod E=0$ eso no dice nada respecto a $\rot E$. Desde el exterior, un observador no accede al flujo tangencial interno, sino solo a la distribución espacial de la densidad de energía. Al crecer el área de las superficies que rodean al toro, dicha densidad decae aproximadamente como (1/r^2). Lo que se interpreta como un “campo radial” asociado a una carga puntual es, en esta descripción, el efecto macroscópico de un flujo electromagnético cerrado, divergencia nula en todo punto, distribuido sobre una topología no trivial. La carga no aparece como una fuente fundamental, sino como una medida efectiva de energía electromagnética confinada y organizada topológicamente. Si quieres, el siguiente paso natural es uno de estos tres (tú eliges): 1. **Derivar con más cuidado la escala (1/(m+n)^2)** 2. **Conectar (m\neq n) con spin y momento magnético** 3. **Mostrar cómo la refracción del vacío permite el atrapamiento del modo** Dime cuál y seguimos.